Bouw je eigen satelliet-hoogtemeter

Uit Astrowiki
Ga naar: navigatie, zoeken

In deze wiki wordt uitgelegd hoe je de hoogte van zichtbare satellieten kunt meten in je achtertuin met heel eenvoudig apperatuur.


Satellieten kunnen verschillende hoogten hebben. De bekendste satelliet, het ISS, maar ook de Hubble telescoop, bevinden zich op slechts honderden kiliometers boven het aardeoppervlakte. Echter, satellieten die gebuikt worden voor comminicatie en voor GPS systemen bevinden zich op (tien)duizenden kilometers hoogte. Gestationairde satellieten bevinden zich zelfs op een hoogte van bijna 36.000 km! Sommige satellieten zijn zichtbaar met het blote oog. Na zonsondergang is het op grote hoogte nog niet donker en weerkaatsen satellieten zonlicht richting aarde. Omdat de hemel vanaf de aarde gezien al donker is zijn ze goed zichtbaar. Ze zien eruit als bewegende sterren die in een tijdsduur van enkele minuten voorbij komen.


Het aardige is dat de hoogte van zichtbare satellieten met eenvoudig apparatuur met een redelijke nauwkeurigheid bepaald kan worden. De benodigdheden zijn een stuk hout, een stopwatch en een grafiek die onderaan in deze wiki gegeven wordt. Dit is werkelijk alles dat je nodig hebt! Je doet een tijdsmeting waarna je in de grafiek direct de hoogte van de satelliet kan aflezen.


Deze wiki is opgedeeld in 2 stukken. In het eerste hoofdstuk leid ik formules af om de benodigde grafiek te kunnen plotten. Als je geen interesse hebt in de wiskunde kun je gelijk doorgaan naar hoofdstuk 2, waarin de grafiek te vinden is en waarin wordt uitgelegd hoe je je eigenlijk satelliet hoogtemeter bouwt en hoe het werkt. Je hebt dus hoofstuk 1 niet nodig om aan de slag te kunnen!


Hoofstuk 1: Theorie[bewerken]

De snelheid van satellieten[bewerken]

Satellieten draaien in een baan rond de Aarde met hoge snelheden. Zou de snelheid te laag zijn dan zouden ze neerstorten op Aarde door de zwaartekracht. Zou de snelheid te hoog zijn, dan zouden ze uit hun baan rond de Aarde schieten. Zij moeten exact de juiste snelheid hebben om de hoogte boven het aardoppervlakte constant te houden. Maar welke snelheid moeten zij hebben en waar hangt dat van af? Om maar gelijk met de deur in huis te vallen: het hangt alleen af van de hoogte. Met andere woorden, als je de hoogte van een satelliet weet, dan kan je zijn snelheid bepalen en ook de omlooptijd. Dit is de tijdsduur waarin de satelliet 1 maal rond de Aarde draait. Dit zal eerst wiskundig aangetoond worden, waarna zowel de snelheid als de omlooptijd bepaald wordt als functie van de hoogte.


Een vliegtuig stort niet neer omdat er een kracht is in tegenovergestelde richting van de zwaartekracht. Namelijk de lucht die het vliegtuig omhoog duwt. Als deze opwaartse kracht even groot is als de zwaartekracht dan heffen die krachten elkaar op en zal het vliegtuig op constante hoogte blijven vliegen. Satellieten bevinden zich buiten de atmosfeer en moeten die opwaartse kracht op een andere manier opwekken. Wanneer een object een cirkelbeweging maakt ontstaat er een kracht naar buiten. Denk aan een looping in een achtbaan. Je wordt in je stoel gedrukt waardoor je ook zonder veiligheidsriem niet uit je stoel zal vallen. Dit wordt de middelpuntzoekende kracht genoemd. Wanneer een satelliet om de Aarde draait maakt deze ook een cirkelbeweging en ontstaat er dus een kracht in tegenovergestelde richting van de zwaartekracht. Deze middelpuntzoekende kracht is o.a. afhankelijk van de snelheid van de satelliet. Met de juiste snelheid heft deze kracht de zwaartekracht op en blijft de satelliet op een constante hoogte rond de Aarde draaien. We krijgen de volgende vergelijking.


1.jpg


Waarin Fz de zwaartekracht is en Fmpz de middelpuntzoekende kracht. De zwaartekracht is gelijk aan de massa m van de satelliet maal de zwaartekracht versnelling a(h). Normaal wordt hier g (=9,81 m/s^2) voor gebruikt, maar dit is de zwaartekracht versnelling op het aardoppervlakte. Hoe groter de hoogte h van de satelliet, hoe lager de zwaartekracht versnelling. Voor de middelpuntzoekende kracht krijgen de het uitdrukking aan de rechterkant van de vergelijking.


2.jpg


Hierin de Ra de straal van de Aarde waar we een waarde van 6378 km nemen. Deze vergelijking kan omgeschreven wordt tot een formule waarmee de snelheid v van de satelliet berekend kan worden wordt.


3.jpg


De zwaartekracht versnelling a(h) kan bepaald worden met behulp van de kwadratenwet. Die wet zegt dat als je n keer zover bij het middelpunt van de Aarde vandaan bent, dat de zwaartekracht versnelling n^2 keer zwakker wordt. Hieruit volgt:


4.jpg


Als we formule 4 invullen in formule 3 krijgen we:


5.jpg


In deze formule is alleen h een onbekende. Naast de snelheid kan ook de omlooptijd bepaald worden als functie van de hoogte h.


6.jpg


Nu de formules voor de snelheid en de omlooptijd bekend zijn kunnen deze geplot worden. Dit is gedaan voor hoogtes tussen 0 en 40.000 km.


Grafiek 1.jpg


De zogenaamde gestationeerde satellieten draaien boven de evenaar in zo’n 24 uur rond de Aarde. Hierdoor blijven deze vanaf Aarde gezien op dezelfde plek aan de hemel staan. Wanneer we t=24 uur nemen en vergelijking 6 oplossen, vinden we h=35.879 km. Dit is ongeveer de hoogte van gestationeerde satellieten. De reden dat dit geen exacte waarden is komt omdat we aanname hebben gemaakt, bijvoorbeeld voor de straal van de Aarde, dat niet overal op Aarde gelijk is.

Wanneer we h=380.000 km invullen in vergelijking 6 (de afstand van de Aarde tot de maan), dan vinden we t=27,6 dagen, dat overeenkomt met de omlooptijd van de maan. Voor de snelheid krijgen we dan 1 km/s. Dit is dus de snelheid van de maan t.o.v. een stilstaande Aarde.

Veel satellieten bevinden zich op lagere hoogte en om die reden zijn de hoogten van 0 tot 750 km apart weergegeven. We zien dus dat het ISS een snelheid heeft van ongeveer 7,7 km/s en een omlooptijd van iets meer dan 90 min.


Grafiek 2.jpg


In dit hoofdstuk hebben we dus een formule afgeleid (formule 5) voor de snelheid die een satelliet moet hebben om in een cirkelbeweging rond de de aarde te draaien als functie van de hoogte. Deze formule hebben we later weer nodig.


Het meten van snelheden van satellieten[bewerken]

Wanneer je onder een hoek α recht naar boven kijkt en een satelliet voorbij ziet komen in een tijdsduur t dan kun je de afstand s die de satelliet heeft algelegd bepalen als functie van de hoogte h, met behulp van wat goniometrische basisfuncties.


Figuur1b.PNG


Formule7b.JPG


Aangezien de afgelegde afstand evenredig is met de snelheid v weten we dus de ook snelheid als functie van de hoogte.


Formule8.JPG


Let op... de hoogte weten we nog niet! Maar nu komt de truc. We hebben 2 formules afgeleid voor de snelheid van de satelliet, namelijk formule 5 en formule 8. Door deze formules aan elkaar gelijk te stellen kan de hoogte van de satelliet bepaald worden. Beide formules zijn hieronder geplot, waarbij in formule 8 verschillende meettijden t zijn ingevuld als voorbeeld, bij een hoek α van 20 graden.


Grafiek3.PNG


De (bijna) horizontale lijn is bepaald met formule 5, ofwel de snelheid die de satelliet moet hebben om in zijn baan te blijven. De satelliet moet dus ergens op deze lijn liggen. Uit onze meting (formule 8) moet de satelliet ook liggen op de lijn bepaald met formule 8 (afhankelijk van je gemeten tijdsduur). Waar die lijnen elkaar kruisen ligt de satelliet.

Hier moeten we oppassen. Tot nu toe gingen we er vanuit dat de satelliet recht boven ons (in de Zenit) voorbij komt. Dit is vaak niet het geval. Ik introduceer nu een hoek β. Dit is de altitude van de satelliet, ofwel de hoek met de horizon. Door deze te introduceren wordt formule 8 ietsje anders.


Formule9.JPG


We hebben nu de benodigde formules om de hoogte van een satelliet te bepalen. Samengevat: We meten de tijdsduur t dat een satelliet (op zijn hoogste punt aan de hemel) beweegt over een hoek α, onder een hoek β met de horizon. Vervolgens stoppen we al die variabelen in formule 9. Deze formule stellen we gelijk aan formule 5 en de hoogte h kan opgelost worden. Of... formule 5 en 9 worden geplot en het snijpunt bepaald. Op dit snijpunt is de hoogte (en ook de snelheid) af te lezen. Dit snijpunt hangt dus af van het gemeten tijdsverschil.


Hoofstuk 2: Je eigen satelliet hoogtemeter[bewerken]

Het is vrij eenvoudig om de hoogte van satellieten te meten met eenvoudig apparatuur. Je neemt 2 stukjes hout en timmert ze aan elkaar zodat ze de letter T vormen, zoals hieronder afgebeeld. De afmetingen zijn heel belangrijk!


Figuur77.JPG


Plaats de onderkant van de letter T op je oogkas. Vanaf dat punt kan je naar de linker- en rechterbovenkant van de T kijken en de hoek daartussen (α) is dan precies 20 graden. Je gaat als volgt te werk. Wanneer je een satelliet voorbij ziet komen richt je bouwwerk op de satelliet wanneer deze op zijn hoogte punt aan de hemel staat. Je houdt je bouwwerk stil en je klikt op start van je stopwatch als je de satelliet langs de rechterbovenkant van de T ziet. Je drukt op stop wanneer je de satelliet langs de linkerbovenkant van de T ziet. In dit gemeten tijdsverschil heeft de satelliet dus een booghoek van 20 graden aan de hemel afgelegd. Vervolgens schat je de hoek die de satelliet (op zijn hoogte punt) maakt met de horizon. Dit is hoek β. Dit kan je natuurlijk precies bepalen met een boog gradenmeter. Het enige dat je nu hoeft te doen is de onderstaande grafiek erbij te pakken.


Grafiek89.PNG


Het gemeten tijdsverschil wordt weergegeven op de verticale as. Je vult daar je gemeten tijdsverschil in en dan ga je naar rechts totdat je bij de juiste lijn aankomt. Elke lijn hoort bij een bepaalde hoek β met de horizon. Zodra je bij de juiste lijn aankomt ga je recht naar beneden en lees je de hoogte van de satelliet af. Et voilà!

Zodra je de hoogte weet kun je met de eerste 2 grafieken in deze wiki ook de snelheid bepalen.


Hoe nauwkeurigheid kun je de hoogte bepalen?[bewerken]

Het is uiteraard niet mogelijk om exact de hoogte van de satelliet te bepalen. De onnauwkeurigheid in de meting heeft verschillende oorzaken. Allereerst is het lastig om om het bouwwerk goed stil te houden. Daarbij komt dat er een onnauwkeurigheid zit in het klikken op de stopwatch. De hoek die de satelliet maakt met de horizon is ook lastig om nauwkeurig te bepalen. Ook is het lastig te bepalen wanneer de satelliet zich op zijn hoogste punt aan de hemel bevindt.

Ook het wiskundig model is niet perfect. Er is vanuit gegaan van een perfect bolvormige Aarde, dat in werkelijkheid niet zo is. Voor de zwaartekrachtversnelling op het aardoppervlakte heb ik 9,81 m/s^2 genomen. Deze waarde is correct in Nederland, maar dit is niet overal ter wereld zo. Al deze kleine fluctuaties resulteren in een onnauwkeurigheid. Daarbij komt dat de rotatie van de aarde (1 omwenteling in 24 uur) niet meegerekend is. Het ISS draait in zo'n 90 min rond de Aarde en dus de rotatie van de aarde is niet verwaarloosbaar.

Nu lijkt het alsof er een grote onnauwkeurigheid in de meting zit. Dit is echter niet het geval. Op 13 augustus 2012 heb ik rond 22:00 de hoogte van het ISS bepaald. Ik mat een tijdsduur van 20 s. Doordat het ISS, op zijn hoogste punt aan de hemel, een hoek van 60 graden maakte met de horizon, vond ik een hoogte van 380 km. Heavens-above.com gaf aan dat de (gemiddelde) hoogte van het ISS die dag 400 km was. Dit houdt in dat ik een afwijking van slechts 5% had, dat is mijn ogen zeer nauwkeurig is voor een meting met 2 houte stokjes en een stopwatch.


--David-tw 14 aug 2012