Achtergrondcorrectie d.m.v. darks

Uit Astrowiki
Ga naar: navigatie, zoeken

In deze tekst wordt uitleg gegeven waarom het belangrijk is om lang en veel opnamen te maken. Er wordt een wiskundig model gepresenteerd waarna geanalyseerd wordt hoe belangrijk achtergrondcorrectie is en bij welke verhouding lights-darks een optimaal signaal-ruis verhouding verkregen wordt.


Waarom lang belichten?[bewerken]

Voor het fotograferen van lichtzwakke objecten geldt algemeen dat er meer detail zichtbaar wordt zodra er langer belicht wordt. Velen zullen dit logisch vinden, want je vangt dan meer licht. Er wordt inderdaad meer licht gevangen, maar waarom zou er dan meer detail zichtbaar worden? Wanneer men een foto maakt van 10 minuten, dan zou men toch net zo goed een foto kunnen maken van 1 minuut met een 10 maal hogere gevoeligheid? De reden dat deze beredenering niet klopt heeft te maken met statistische onzekerheden. Omdat dit een hele belangrijke term is zal ik hier meer over vertellen aan de hand van een voorbeeld.

Stel je richt een lichtdetector op een lichtbron en je vergroot de aftand dusdanig dat je gemiddeld 10.000 fotonen meet per 10 minuten. Dit betekent niet dat er bij iedere meting van 10 minuten precies 10.000 fotonen gemeten worden. Het kan best zo zijn dat er de ene keer maar 9.000 worden gemeten en de andere keer weer 11.000. Fotonen worden immers uitgezonden in een willekeurige richting. De onnauwkeurigheid in een zo’n meting is gelijk aan de wortel van het aantal gemeten fotonen. We noemen het aantal gemeten fotonen N.


DARK1.PNG


In ons geval tellen we 10.000 fotonen in 10 minuten, dus N=10.000. We krijgen dus een onnauwkeurigheid van wortel (10.000) = 100 fotonen. Dit getal is een maat voor de onnauwkeurigheid van de meting. 100 is 1% van 10.000, dus we hebben een relatieve onnauwkeurigheid van slechts 1%. Maar wat als we nu maar 1 minuut meten i.p.v. 10 minuten, en vervolgens het aantal gedetecteerde fotonen met een factor 10 vermenigvuldigen? Komen we dan niet precies op dezelfde relatieve onnauwkeurigheid uit? Als dat het geval is dan was het dus niet nodig geweest om 10 minuten te meten. Laten we eens gaan rekenen. Wanneer er maar 1 minuut gemeten wordt dan meten we gemiddeld 10 keer minder fotonen dan wanneer we 10 minuten meten. Het gemiddeld aantal gemeten fotonen is dan gelijk aan 10.000/10=1.000. De onnauwkeurigheid hierin is dan wortel (1.000) en dat is ongeveer 31.6. We hebben nu een relatieve onnauwkeurigheid van meer dan 3%, i.p.v. slechts 1%. Blijkbaar is de relatieve onnauwkeurigheid in het aantal gemeten fotonen minder groot wanneer er werkelijk 10 minuten gemeten wordt dan wanneer er een meting van 1 minuut met een factor 10 vermenigvuldigd wordt.

Uit dit rekenvoorbeeld kunnen we concluderen dat de relatieve onnauwkeurigheid afneemt naarmate we meer fotonen meten. Maar waarom is de relatieve onnauwkeurigheid zo belangrijk? Dit komt omdat de onnauwkeurigheid niets anders is dan ruis. Wanneer een object zo lichtzwak is dat de ruis zelfs groter is, dan is dit object niet meer zichtbaar. Vanaf nu zal de term onnauwkeurigheid ook niet meer gebruiken worden, maar zal het ruis genoemd worden. Het aantal gemeten fotonen N noem ik signaal. We kunnen dus een uitdrukking opstellen voor de (bekende) signaal-ruis verhouding SNR:


DARK2.PNG


Hoe beter de SNR hoe meer detail zichtbaar. De breuk N / wortel (N) is gelijk aan wortel (N). Blijkbaar neemt de SNR bij het verdubbelen van het aantal gemeten fotonen met een factor wortel (N) toe. Dit is ongeveer 1.41. M.a.w. de SNR neemt met 41% toe. Het maakt niet uit of je de belichtingstijd verdubbelt of dat je combineert met een 2e opname van gelijke belichtingstijd.


Achtergrond en ruis[bewerken]

Toch komt er meer bij kijken. Een digitale camera telt simpel gezegd het aantal fotonen per pixel tijdens de belichting. Een foton maakt wat elektrische lading vrij in een pixel dat na de opname uitgelezen wordt door de camera. Naast fotonen kan ook vrije lading ontstaan door warmte. Dit wordt uiteraard meegeteld en heet donkerstroom. In deze tekst ik noem deze bijdrage thermische achtergrond. Dit proces is ook statistisch en bevat dus ook ruis. Er valt niet te corrigeren voor deze ruis. Dit is een eenmalig gegenereerd ruispatroon dat niet opnieuw te reproduceren valt. Echter, er kan wel gecorrigeerd worden voor de thermische achtergrond. Dit kan namelijk gemeten worden door de meting, die even lang duurt, te herhalen met de sluiter van de camera gesloten. Er wordt dan alleen achtergrond gemeten. De foto met de sluiter open zal ik vanaf nu een light frame noemen en de foto met de sluiter dicht een dark frame. Door de dark frame van de light frame af te trekken wordt dus de thermische achtergrond weggehaald. Maar hier moeten we oppassen! Een dark frame bevat ook thermische ruis, aangezien het meten van een dark frame ook een statistisch proces is. Deze thermische ruis is qua grootte gelijk aan de thermische ruis in de light frame, aangezien er even lang gemeten is, maar het heeft een ander patroon. Er valt hierdoor niet te corrigeren voor de thermische ruis in de light frame. Dit kan wel verminderd worden door het koelen van de camera. Hierdoor neemt de thermische achtergrond, en dus de thermische ruis af. Kortom, er wordt gecorrigeerd voor de thermische achtergrond, maar er komt wel extra ruis bij, ook wel bekend als kalibratie ruis.

Ook voor deze kalibratie ruis geldt dat de ruissterkte afneemt met een factor gelijk aan de wortel van het aantal herhaalde opnamen. Meerdere dark frames maken is dus verstandig. Deze kunnen worden gemiddeld tot een master dark frame die vervolgens wordt afgetrokken van de (master) light frame. Als de ruis in de master dark frame verwaarloosbaar is (door het maken van heel veel dark frames) zal er in de light frame, na correctie, geen thermische achtergrond meer aanwezig zijn. Er is dan optimaal gecorrigeerd voor de donkerstroom in de camera.

Wat niet vergeten mag worden is uitlees achtergrond. Na de opname leest de camera de pixels uit en voegt daarbij wat achtergrond toe (elektronica is immers niet perfect). Ook hier zit weer ruis (ofwel onnauwkeurigheid) in. Wederom valt er wel te corrigeren voor de achtergrond, maar niet voor de ruis daarin. De achtergrond correctie vindt al plaats bij de correctie van de thermische achtergrond met de master dark frame. Hierin zit de uitlees achtergrond al verwerkt.

De sterkte van de uitlees ruis is niet afhankelijk van de belichtingstijd. Dit verklaart waarom een foto van 1x20 min meer detail laat zien dan een 2x10min foto. In het laatste geval is er 2 keer uitleesruis aanwezig (dus wortel (2) keer sterker), terwijl alle andere bijdragen (aantal gemeten fotonen inclusief ruis en thermische achtergrond inclusief ruis) in beide gevallen gelijk zijn. Dit heeft tot gevolg dat SNR kleiner is.


Is het nu verstandig om meer light frames of meer dark frames te nemen?[bewerken]

Sowieso geldt er altijd hoe meer light frames en dark frames hoe beter. Maar is de verdeling hieronder nog interessant? Is 10 light frames en 1 dark frame beter dan 1 light frame en 10 dark frames? En waar hangt dat vanaf? Om deze vragen te beantwoorden zal ik een wiskundig model beschrijven voor 1 pixel. Hierin verwaarloos ik een andere vorm van achtergrond, nog niet eerder genoemd, namelijk skyglow. Dit wordt voornamelijk veroorzaakt door lichtvervuiling. Deze achtergrond neemt evenredig toe met het signaal van hemelobjecten. Meerdere of langere opnamen maken heeft dan ook geen zin. Een object zwakker dan de skyglow zal nooit zichtbaar zijn. Een oplossing hiervoor is het verplaatsen naar een donkere omgeving of het gebruik van filters, maar daar gaat dit stuk niet over.

Allereerst introduceer ik een aantal variabelen. Het totaal aantal gemeten fotonen per belichting definieer ik als N(L) ± wortel N(L), de thermische achtergrond per belichting als N(T) ± wortel N(T) en de uitleesachtergrond per belichting als N(E) ± sigma (E). Omdat ik er niet zeker van ben of de onnauwkeurigheid in de uitleesachtergrond gelijk is aan de wortel daarvan noem ik deze maar sigma (E) (vaak is deze waarde terug te vinden in de specificaties van de camera). Het totaal aantal counts is dus de som van de individuele contributies. Voor de totale ruis krijgen we de wortel van de som van het kwadraat van de individuele parameters. Meer info hierover vind je hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation. Na 1 light frame is het totaal aantal counts gelijk aan:


DARK3.PNG


Door m light frames te maken krijgen we:


DARK4.PNG


Doordat er uitgemiddeld wordt delen we de vergelijking door m en verkrijgen we de master light frame:


DARK5.PNG


Vergelijk deze ruis met de ruis in vergelijking 3. Hier is aangetoond dat als we m light frames middelen dat de ruis met een factor wortel (m) afneemt, zoals eerder al vermeld. Nu doen we hetzelfde voor dark frames. Het totaal aantal counts voor een dark frame is:


DARK6.PNG


En voor een master dark frame opgebouwd uit n dark frames krijgen we:


DARK7B.PNG


Vervolgens wordt de master dark frame van de master light frame afgetrokken, ofwel vergelijking 5 minus vergelijking 7. Houd hierbij rekening dat de ruis niet van elkaar wordt afgetrokken, aangezien deze niet hetzelfde patroon hebben. Na de master light frame, bestaande uit m light frames, te corrigeren door een master dark, bestaande uit n dark frames, krijgen we de volgende uitdrukking:


DARK8B.PNG


Aangezien dit het signaal en de ruis beschrijft, krijgen we voor SNR de volgende formule:


DARK9.PNG


Ter herinnering, we proberen af te leiden of het verstandiger is om meer tijd te steken in extra light frames of in extra dark frames. Met formule 9 komen we al een eind. Om SNR te kunnen plotten tegen m en n zullen we aannamen moeten maken voor de overige variabelen N(L), N(T) en sigma(E). Bij een bepaalde belichtingstijd kunnen we N(T) plus sigma (E) als 1 waarde nemen. Nu blijft N(L) over. We zullen drie interessante situaties schetsen.


DARK10.PNG


Deze situatie zal gelden voor een pixel die flink belicht wordt. De volgende plot geeft de SNR weer als functie van m en n, waarbij N(L) = 200 * ( N(T) + sigma(E)^2 ) is genomen.


DARK11.PNG


Op de verticale as wordt de SNR weergegeven. Merk op dat de waarden op de verticale as arbitrair zijn. Opvallend is dat (voor deze situatie) het maken van extra light frames belangrijker is dan extra dark frames. Dit is niet verrassend, aangezien de achtergrondruis in het niet valt bij de ruis veroorzaakt door het aantal gemeten fotonen. Dit laatste wordt niet teruggebracht door het maken van dark frames, maar juist door het maken van light frames (zie rekenvoorbeeld pagina 1). Dit is de minst interessante situatie, aangezien veruit de meeste pixels niet zo sterk belicht worden.


DARK12.PNG


In dit geval is de hoeveelheid gemeten fotonen gelijk aan de thermische- plus uitlees achtergrond. Dit beschrijft de situatie voor een minder belichte pixel. Een interessantere situatie, omdat dit meer voorkomt bij een astrofoto dan vorige de situatie. De volgende plot geeft de SNR weer als functie van m en n, waarbij N(L) gelijk is gesteld aan N(T) + sigma(E)^2.


DARK13.PNG


Uit deze plot is af te leiden dat met deze belichting het aantal dark frames even belangrijk is als het aantal light frames, omdat de curve voor darks=1 ongeveer even snel stijgt als de curve voor lights=1. Deze moeten ongeveer aan elkaar gelijk blijven voor een optimale SNR. De curve voor het aantal dark frames gelijk aan 1 neemt langzamer toe naarmate het aantal light frames stijgt. Dit houdt in dat het niet heel zinvol is om alleen meer light frames te maken. Ook kan uit deze plot afgeleid worden dat hoe meer light frames er zijn genomen hoe effectiever het is om ook het aantal dark frames te gaan verhogen. Dit ziet men al direct aan formule 9. Wanneer m heel groot is, wordt de grootte van de ruis gelijk aan:


DARK14.PNG


In deze expressie komt geen m meer voor. Wel een n daarentegen. Het maken van dark frames wordt dan een stuk belangrijker.


DARK15.PNG


Hier gaat het om pixels die haast niet belicht worden, dus de pixels die redelijk zwart blijven op de foto. Het kan ook gaan om hot pixels. Dit zijn pixels met een verhoogde thermische achtergrond. De volgende plot geeft wederom de SNR weer als functie van m en n, waarbij N(T) + sigma (E) = 200 * N(L) is genomen.


DARK16.PNG


We zien sterke overeenkomsten met de vorige situatie. Voor zwak of bijna niet belichte pixels geldt dat het maken van dark frames nog zelfs iets belangrijker is dan het maken van light frames, maar wederom gaat het ongeveer gelijk op.

Naar aanleiding van deze resultaten mogen we concluderen dat het maken van dark frames zeer belangrijk is voor het vergroten van de SNR. Ook is duidelijk geworden dat in de meeste situaties men optimaal meet wanneer het aantal dark frames niet te veel afwijkt van het aantal light frames.

Tot slot wil ik kwijt dat in dit model alle omstandigheden als ideaal zijn aangenomen. Dat houdt in, tijdens de light opnamen geen wind, volgfouten, voorbij komen wolken, satellieten en vliegtuigen of andere storingen. Verder moet gemeld worden dat de temperatuur van de camera tijdens de opname van de dark frames gelijk is genomen aan temperatuur tijdens de opname van de light frames. De thermische achtergrond is namelijk sterk afhankelijk van de temperatuur.


--David-tw 27 okt 2011 12:48 (CEST)